کسرها

محاسبه های کسری برای بسیاری از ریاضیدانان اولیه مشکل بزرگی بود. این مشکل به خصوص در میان مصریان، که تقریباً فقط از «کسرهای واحد» (یعنی کسرهایی که صورتشان 1 است) استفاده می کردند، مزاحمت زیادی ایجاد می کرد. «بخش دوازدهم» به معنی 1/12 بود و برای نمایش آن، علامت مخصوصی را که به معنی «بخش» بود بالای مخرج می نوشتند: . در شکل هیراتیک، یک نقطه روی نماد عددی می گذاشتند. علامت مخصوص هم برای یک کسر غیر واحد مهم، یعنی 2/3، به کار می رفت. در ادامه ی این بحث، یک خط بالای یک عدد به معنی «بخشِ» آن عدد خواهد بود (مثلاً یعنی «بخش پنجم» یا 1/5) و 2/3 را با نمایش خواهیم داد.
همان طور که گفته شد، برای محاسب مصری، ضرب وابسته به دو برابر کردن بود. دو برابر کردن هر کسر واحد با مخرج زوج، به آسانی با نصف کردن مخرج انجام می شد. مصریان برای دو برابرِ نماد مخصوصی را به کار می بردند. برای دو برابر کردن مقادیر دیگر با مخرج فرد، جداول مخصوصی مورد نیاز بود. پاپیروس رایند با به دست دادن چنین جدولی برای دو برابر تا 101 آغاز می شود. مثلاً،
اگر مخرج بر 3 بخش پذیر باشد، یعنی اگر به شکل k3 باشد، دو برابر آن همیشه به شکل است.
کسرهای واحد در مسائل تقسیم هم مورد استفاده قرار می گرفتند. مسائل اولیه ی پاپیروس رایند شامل مسئله ی تقسیم 6، 7، 8 یا 9 قطعه نان به طور مساوی بین 10 نفر است. جواب مصریان به این مسائل ، ، و قطعه نان به هر نفر است.
یونانیان نیز در بیان کسرها به صورت مجموع دو یا چند زیر مضرب، از مصریان تقلید کردند. بنابراین می‌ بینیم که ارشمیدس برای 3/4 می نویسد « 1/4 1/2». و هرون اسکندرانی قرن ها بعد از آن، برای 31/51 می نویسد «1/51 1/34 1/17 1/2». اما یونانی ها به هیچ وجه خود را به کسرهای واحد محدود نکردند. یونانی ها برای برخی کسرهای متداول نمادهای مخصوص داشتند، ولی کسرهای دیگر با یک علامت تکیه برای صورت و دو علامت تکیه برای مخرج نوشته می شدند و مخرج را دوبار می نوشتند. بنابراین،

دیوفانت (1) گاهی شکلی شبیه به نماد امروزین کسر را به کار می برد، ولی مخرج را بالای صورت می نوشت و از خط کسری استفاده نمی کرد. یونانی ها شکل های دیگری را نیز برای نمایش کسرها به کار می بردند.
قبلاً درباره ی برتری بابلی ها بر مصریان در استفاده از «کسرهای شصتگانی» صحبت کردیم. گرچه نبودِ صفر و یک نماد جداکننده به این معنی است که نماد «3» ممکن است واقعاً به معنی «3/60» یا حتی « » باشد، این موضوع چندان مشکلی در محاسبات به وجود نمی آورد (به یاد آورید که امروزه ما ضرب را در وهله ی اول مستقل از موضع ممیز اعشاری انجام می دهیم). استفاده از جداول معکوس ها و عمل جمع نیز مشکلات تقسیم را برطرف می کرد.
یونانی ها در آثار علمی، به خصوص در ستاره شناسی، دستگاه کسری مصریان را کنار گذاشتند و در عوض به دستگاه شصتگانی بابلی ها که کارسازتر بود روی آوردند. مثلاً در مجسطی بطلمیوس می بینیم
 
که به معنی

است. چون شعاع دایره ای که بطلمیوس به کار می برد 60 واحد بود، وتر ، تقسیم بر 60، برابر با می شود؛ یعنی

که تا آخرین رقم دقیق است.
همان طور که گفتیم، دستگاه شصتگانی تا دوران جدید بین ستاره شناسان رایج بود و هنوز هم در مثلثات کروی به کار می رود.
روش های امروزین ما برای محاسبات کسری به آسانی به دست نیامده اند. اگر کسی بتواند حساب را از اواخر قرن شانزدهم تا امروز بررسی کند، می بیند که این روش ها چگونه به تدریج و به دشواری ابداع شده اند. در آثار اولیه ی این دوره شکل های عجیبی برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کسرها دیده می شود. در کتاب حساب ترویزو کسرهایی مثل 3345312/4320864 دیده می شود و چنین کسرهایی در دوره های بعد از آن هم نامعلوم نبودند.
ظاهراً نوشتن کسر با قرار دادن صورت بالای مخرج را هندیان آغاز کردند، ولی گذاشتن خط کسری تا قبل از قرن شانزدهم عموماً متداول نبود. استفاده از شکل فشرده، مثل 2/3، تا قرن نوزدهم که آگوستوس دمورگان(2) آن را متداول ساخت مقبولیت نیافته بود. استفاده از دو نقطه، به شکل 2:3، در آثار گوتفرید فون لایب نیتز(3) از سال 1676 دیده می شود.
شاید تأخیر در معرض کسرهای اعشاری تا قرن نوزدهم عجیب به نظر آید. این تأخیر شاید تا حدی ناشی از تقسیم شصتگانی زاویه باشد که در جداول مثلثاتی جاودانه شده بود. گذشته از این، جداول ریاضی به خصوص طوری ساخته می شدند که از کسرها اجتناب شود. در جداول مثلثاتی، چنان که بعداً خواهیم دید، شعاع یا حتی به عنوان مقدار مرجع به کار می رفت تا بتوان بدون نیاز به هیچ نوع بخش کسری مقدار مناسبی به تعداد زیادی از مواضع داد. اثرگذارترین کتاب حساب تجاری که در آلمان منتشر شد، کتاب آدام ریز(4) در 1522، جدول جذرها را با این فرض که اعداد در 1000،000 ضرب شده اند به دست داده بود و در نتیجه، همه ی جذرها در 1000 ضرب شده بودند. مثلاً جذر 2 به صورت 1414 بدون ممیز اعشاری داده شده بود.
ابداع کسرهای اعشاری را معمولاً به سیمون استِوین(5) نسبت می دهند. او دستگاه کسرهای اعشاری را در سال 1585 در جزوه ای هفت صفحه ای که ابتدا به هلندی و بعد به فرانسوی با عنوان دَهُم(6) منتشر شد معرفی کرد. متأسفانه نمادگذاری استوین پیچیده و سردرگم بود و توجهی را که شایسته اش بود دریافت نکرد.
از آن جا که استوین ممیز اعشاری را معرفی نکرده بود، پرسشی جالب است که چه کسی این کار را انجام داد. مورخان ریاضی در مورد پاسخ این پرسش اتفاق نظر ندارند. در بین نامزدهای این افتخار می توان نامه های پلوس(7) (1492)، بورگی(8)(1592)، پیتیسکوس(9)(1608)، کپلر(10)(1616) و نپر(11) (1617) را یافت.
مطمئناً باید امتیاز زیادی به جان نپر داد که در کتاب رابدولوژی (12) استفاده از «نقطه یا ویرگول» را به عنوان جداکننده ی واحدها و دهم ها توصیه کرد و خودش در تقسیم از ویرگول استفاده کرد. در چندین اثر بعدی او هم نقطه و هم ویرگول به کار رفته است.
امروزه در بسیاری از کشورهای اروپایی به جای نقطه از ویرگول استفاده می کنند. در انگلستان، برعکس امریکا، نقطه ی روی خط پایه نشانه ی ضرب و نقطه ی بالای خط پایه، ممیز اعشاری است. یعنی2.5 به معنی 5×2 و 2.5 به معنی 2/5 است.

پی نوشت ها :

1. Diophantus
2. Augustus De Morgan
3. Gottfried Wilhelm von Leibniz
4. Adam Riese
5. Simon Stevin
6. La Disme
7. Pellos
8. Burgi
9. Pitiscus
10. Kepler
11. Napier
12. Rabdologia

منبع مقاله :
دیویس، هارولد؛ (1384)، تاریخ محاسبه، مهران اخباریفر، تهران، انتشارات علمی و فرهنگی، چاپ اول